Los lógicos.- Jesús Mosterín (1941-2017)

 

Prólogo

  «La matemática es la más grande aventura del pensamiento. En otras actividades también pensamos, obviamente, pero contamos además con la guía y el control de la observación empírica. En la matemática pura navegamos por un mar de ideas abstractas, sin más brújula que la lógica.

 Jacobi pensaba que la finalidad única de la matemática consiste en honrar al espíritu humano. Por otro lado, la matemática y el pensamiento abstracto impregnan toda la ciencia y la tecnología actuales. Desde la cosmología hasta la economía, nuestro conocimiento de la naturaleza y de la sociedad sería inconcebible sin las matemáticas. A diferencia de la ciencia antigua, que buscaba una comprensión cualitativa de los fenómenos, la ciencia moderna se basa en la construcción de modelos teóricos (es decir, matemáticos) de la realidad. La realidad es excesivamente compleja para poder ser directamente comprendida por nuestras limitadas entendederas. Lo único que podemos hacer es buscar en el universo matemático una estructura que se parezca en algún aspecto relevante a la porción de la realidad por la que nos interesemos, y usar esa estructura como modelo teórico simplificado de la realidad. Una vez que disponemos de un modelo teórico, podemos traducir al lenguaje de las matemáticas las preguntas que nos hacemos en la vida real, podemos computar la respuesta dentro del modelo y, finalmente, podemos retraducir esa respuesta matemática al lenguaje de la vida real.

 Si queremos calcular trayectorias de aviones o barcos sobre la superficie terrestre, modelamos la Tierra mediante una esfera o un elipsoide. En las teorías científicas avanzadas las estructuras matemáticas que utilizamos como modelos son más complicadas. La cosmología usa la teoría general de la relatividad, que modela el espacio-tiempo físico como una variedad diferencial provista de una cierta métrica (un campo tensorial). La mecánica cuántica modela los sistemas atómicos como espacios de Hilbert (ciertos espacios vectoriales de un número infinito de dimensiones).

 ¿De dónde sacamos esas esferas y elipsoides, de dónde sacamos los números, los vectores, las probabilidades, las variedades diferenciales, los campos tensoriales, los espacios de Hilbert? Los sacamos del universo matemático. Y ¿de dónde sacamos el universo matemático? Nos lo sacamos de la cabeza. Es una creación del espíritu humano, pero no es una creación arbitraria, sino constreñida por una lógica implacable. El resultado de esa creación, el universo matemático, es un depósito inagotable de todo tipo de estructuras imaginables e inimaginables. Algunas de esas estructuras pueden reducirse a otras en el sentido de ser definibles a partir de ellas. La ontología matemática -es decir, la teoría de conjuntos- trata de reducir la vertiginosa variedad de las estructuras a sus componentes básicos, que en último término son los conjuntos. A partir del conjunto vacío e iterando unas pocas operaciones, el matemático -como un compositor- construye la gran sinfonía del universo matemático, con todos sus números y espacios.

 En los modelos calculamos y obtenemos mediante computaciones las respuestas que buscamos. Los computadores son "cerebros electrónicos", extensiones de nuestras cabezas, máquinas que implementan programas formales y nos permiten resolver nuestros problemas, al menos en la medida en que estos sean computables. Qué problemas sean computables y hasta qué punto lo sean es aquí una cuestión crucial.

 Alguien podrá pensar que algo tan abstracto como la lógica sólo podría atraer a personalidades frías y exangües. Pero las apariencias engañan. Bajo el hielo de la razón pura arde a veces una llama abrasadora y un corazón atormentado. A los veinte años Jean van Heijenoort se había entregado totalmente a la causa de la revolución mundial. Como secretario particular y guardaespaldas de Trotski, lo acompañó en su exilio en Turquía, Francia, Noruega y México. Asesinado Trotski, van Heijenoort se puso a estudiar lógica y matemáticas y se convirtió en historiador prominente de la lógica. Lejos de cualquier frialdad, se pasó la vida en tormentosas pasiones amorosas con sus diversas esposas y amantes. Cuando yo lo traté, bajo las cenizas de la edad todavía ardían brasas incandescentes. Su última mujer, la mexicana Ana María, nada más conocerlo, lo describió como "una llama de fuego puro". En ese fuego se quemaron los dos. Ya separados, y dedicado Jean en Stanford a la edición de las obras completas de Gödel, Ana María lo conminó a volver a México inmediatamente, porque ella quería suicidarse y matarlo a él. Él canceló todos sus compromisos y tomó el primer avión a México. Allí, en la cama, ella le disparó tres tiros en el cráneo y a continuación se disparó a sí misma en la boca, como había anunciado. En fin, cualquier cosa excepto una vida fría y aburrida. De todos modos, su contribución creativa a la lógica, aunque apreciable, fue modesta. Quine, sin embargo, aunque mucho más importante como filósofo y lógico, y aunque coronado por el éxito académico, ha tenido la vida previsible y desangelada del típico profesor universitario, como su propia autobiografía se encarga de documentar, dicho sea con el respeto y admiración que cuantos lo conocemos le profesamos. ¿No habrá habido lógicos que hayan combinado el interés humano de una vida extrema con la plenitud del genio creador? Sí, los ha habido, y de algunos de ellos trata este libro.

 Aunque hace mucho tiempo que los seres humanos razonan, clasifican y calculan, sólo a finales del siglo XIX y principios del XX se ha logrado una cierta claridad acerca de la lógica, las clases y los algoritmos, temas todos ellos íntimamente imbricados entre sí. Esta clarificación es el fruto de una de las mayores revoluciones intelectuales de todos los tiempos, que incluyó la creación de la lógica moderna, la teoría de conjuntos y la teoría de la computación, la aritmetización del análisis y la transformación de la filosofía teórica. Esos progresos fueron llevados a cabo por varios pensadores geniales, que eran a la vez filósofos y matemáticos, y a los que aquí vamos a llamar los lógicos. De entre los lógicos que hicieron la revolución, hemos elegido a seis héroes intelectuales, de obra decisiva y vida interesante: Frege, Cantor, Russell, von Neumann, Gödel y Turing. Por su obra, podríamos haber elegido también a otros (como Dedekind, Hilbert, Zermelo o Tarski), pero su vida no fue tan dramática.

 Espero que esta combinación de biografía y lógica, de anécdota y concepto, de contexto histórico y desarrollo abstracto, resulte digerible para el lector y sea de su agrado. En el mejor de los casos, el lector lego en lógica y matemáticas puede aprender algo de esa disciplinas leyendo este libro, y el lector ducho en esas materias puede aprender algo acerca de los hombres atormentados que las crearon y de la época en que les tocó vivir.»

   [El texto pertenece a la edición en español de Editorial Espasa Calpe, 2000. ISBN: 84-239-9755-3.]