Mi visión del mundo.- Albert Einstein (1879-1955)

 

Quinta parte: Estudios científicos

Geometría y experiencia

«Las matemáticas gozan de prestigio propio frente a las demás ciencias. El motivo es que sus proposiciones son absolutamente ciertas e indiscutibles, mientras que todas las proposiciones de las demás ciencias son discutibles hasta cierto punto y corren siempre peligro de quedar invalidadas por nuevos descubrimientos. A pesar de ello, el investigador de otra área no necesitaría envidiar la suerte del matemático, cuyas proposiciones no se refieren a hechos de la realidad sino sólo de nuestra imaginación. No debe sorprender que se llegue a conclusiones lógicas congruentes si uno se ha puesto de acuerdo en los axiomas fundamentales, así como en el método a seguir. De este método y de los axiomas fundamentales deberán deducirse todas las proposiciones. Por otra parte, este gran prestigio de las matemáticas descansa en el grado de seguridad que confieren a las ciencias de la naturaleza, grado que éstas no podrían alcanzar sin su ayuda.

 Llegados a este punto, surge el problema que tanto ha preocupado a los científicos de todos los tiempos. ¿Cómo es posible que las matemáticas encajen con tanta perfección en los hechos de la realidad, siendo un producto del pensamiento humano independiente de toda experiencia? ¿Acaso el intelecto humano puede profundizar, a través del pensamiento puro, en las propiedades de los objetos reales sin la ayuda de la experiencia?

 Según mi opinión, esa pregunta puede responderse como sigue: cuando las proposiciones matemáticas se refieren a la realidad, no son ciertas; cuando son ciertas, no hacen referencia a la realidad. Creo que este estado de cosas se me ha aclarado por completo gracias a esa parte de las matemáticas conocida como axiomática. El avance logrado por la axiomática consiste precisamente en que a través de ella se trazó una frontera nítida entre lo lógico-formal y el contenido práctico. Únicamente lo lógico-formal constituye, con arreglo a la axiomática, el objetivo de las matemáticas. No así la intuición ni cualquier otro tema vinculado a lo lógico-formal.

 Consideremos con arreglo a este criterio cualquier axioma de la geometría. Por ejemplo, el siguiente: por dos puntos del espacio pasa siempre una, y sólo una, recta. ¿Cómo se ha de interpretar este axioma según el criterio antiguo y el nuevo?

 Interpretación antigua: todo el mundo sabe lo que es una recta y lo que es un punto. Que esto se sepa gracias a una facultad del espíritu humano, o bien mediante la experiencia, o bien debido a una combinación de ambas, o por cualquier otra causa, no necesita decidirlo el matemático. Queda a cargo del filósofo. El citado axioma (al igual que todos los demás) se basa en un conocimiento anterior a toda matemática. Y por eso es un término apto para expresar una parte de este saber a priori.

 Interpretación nueva: la geometría trata de hechos descritos por las palabras recta, punto, etcétera. No se supone ningún conocimiento u opinión acerca de estos temas. Sólo se supone la validez puramente formal de los axiomas comprendidos, esto quiere decir, independizados de cualquier contenido intuitivo o experimental. Estos axiomas definen los hechos de que trata la geometría. Por esto Schlick, en su libro sobre la teoría del conocimiento de causas, ha descrito tan acertadamente los axiomas como "definiciones implícitas".

 Esta apreciación, sustentada por la axiomática moderna, purifica a las matemáticas de todos los elementos no pertenecientes a ellas y suprime la oscuridad mística que anteriormente era inherente a su fundamento. Una exposición tan clara pone en evidencia que las matemáticas están en condiciones de inducir afirmaciones, tanto sobre los hechos de la intuición imaginativa, como sobre los hechos de la realidad. Los conceptos "punto", "recta", etcétera se han de comprender en la geometría axiomática sólo como nociones esquemáticas sin contenido. Lo que les da contenido no corresponde a las matemáticas.

 Por otra parte también es cierto que las matemáticas, y en especial la geometría, deben su origen a la necesidad de averiguar el comportamiento de los objetos reales. La palabra "geometría" que al fin y al cabo significa "mediciones geodésicas", ya pone esto en evidencia. Pues la medición geodésica trata de las posibilidades de localización relativa entre varios cuerpos físicos, es decir, de partes de la tierra, jalones, instrumentos de medición, etcétera. Queda claro que el método conceptual de la geometría axiomática por sí solo no puede suministrar ninguna afirmación sobre los objetos de la realidad que nosotros queremos conceptuar como cuerpos prácticamente rígidos. Para proporcionar tales afirmaciones hay que despojar a la geometría axiomática de su carácter únicamente lógico-formal, aunque se podrá añadir hechos experimentales de la realidad a los esquemas de comprensión de la geometría axiomática. Para realizar esto, basta con añadir la siguiente proposición:

 En cuanto atañe a posibilidades de localización, los cuerpos rígidos se comportan  como los cuerpos tridimensionales de la geometría euclidiana; pues las proposiciones de la geometría euclidiana contienen afirmaciones sobre el comportamiento de los cuerpos prácticamente rígidos.

 La geometría así completada es sin duda una ciencia de la naturaleza; de hecho la podemos considerar como la rama más antigua de la física. Sus afirmaciones se refieren ante todo a la inducción de la experiencia; y no sólo a claves lógicas. A la geometría así completada la llamaremos "geometría práctica" para distinguirla en lo sucesivo de la geometría axiomática. Que la geometría práctica del mundo sea una geometría euclidiana o no es una pregunta de significado obvio, a la que sólo puede responderse mediante la experiencia. Todas las medidas de distancias largas, así como las mediciones geodésicas y astronómicas, son geometría práctica en la física, si nos ayudamos de la siguiente proposición experimental: la luz se propaga en línea recta y solamente en línea recta según el sentido de la geometría práctica.»

 

   [El texto pertenece a la edición en español de la editorial Tusquets Editores, 1997, en traducción de Sara Gallardo y Marianne Bübeck. ISBN: 84-7223-919-5.]