Matemáticas e imaginación.- Edward Kasner (1878-1955) y James Newman (1907-1966)

Pie (𝝿, 𝒊, 𝒆). Trascendente e imaginario

 «Un universo donde faltaran 𝝿 y 𝒆, como lo ha dicho algún espíritu antropomórfico, no sería inconcebible. Difícilmente uno podría imaginarse que el sol dejara de salir o que las mareas cesaran de producirse por falta de 𝝿 y 𝒆. Pero sin estos artificios matemáticos, lo que sabemos del sol y las mareas, a pesar de nuestra habilidad para describir todos los fenómenos naturales, físicos, biológicos, químicos o estadísticos, estaría reducida a dimensiones primitivas.

𝒊

 Alicia estaba censurando a Humpty Dumpty por las prerrogativas que tomaba con respecto a las palabras: "Cuando yo uso una palabra", replicó Humpty con un tono despreciativo, "ella significa precisamente aquello que yo quise decir, ni más ni menos". "La cuestión es", dijo Alicia, "si usted puede hacer que una palabra signifique tantas cosas diferentes". "La cuestión es", dijo Humpty, "conocer a fondo el asunto, eso es todo".

 Aquellos que están preocupados (y son muchos) , por la palabra "imaginario", tal como se la usa en matemáticas, deberían prestar atención a las palabras de Humpty Dumpty. Por supuesto que, a lo sumo, esto es cosa de poca importancia. Repetidas veces en las matemáticas, a palabras muy diferentes se les atribuyen significados técnicos. Pero, como lo ha dicho tan perspicazmente Whitehead, esto sólo es confuso para inteligencias inferiores. Cuando una palabra está definida con precisión y significa solamente una cosa, no hay más razón para criticar su uso que para criticar el uso de un nombre propio. Nuestros nombres de pila pueden no agradarnos, o no podrán satisfacer a nuestros amigos, pero ocasionan pocas equivocaciones. La confusión surge únicamente cuando la misma palabra tiene varias acepciones y constituye lo que Humpty Dumpty llama una "maleta de viaje".

 La semántica, una ciencia que hoy día está de moda, se dedica al estudio del uso adecuado de las palabras. Sin embargo, hay mucha mayor necesidad de la semántica en otras ramas de la ciencia que en las matemáticas. En efecto, la mayor parte de los males que aquejan hoy al mundo, provienen del hecho de que algunas de sus más volubles alabanzas son, por cierto, antisemánticas.

 Un número imaginario representa una idea matemática precisa. Se impuso por la fuerza en el álgebra de la misma manera que lo hicieron los números negativos. Llegaremos a entender más claramente cómo entraron en uso los números imaginarios si consideramos el desarrollo de sus progenitores, los números negativos.

 Los números negativos aparecieron como raíces de ecuaciones tan pronto hubo ecuaciones o, mejor dicho, tan pronto como los matemáticos se ocuparon del álgebra. Toda ecuación de la forma: ax + b = 0, en la que a y b son mayores que cero, tiene una raíz negativa.

 Los griegos, para quienes la geometría era un regocijo y el álgebra un mal necesario, descartaron los números negativos. Incapaces de adaptarlos a su geometría, imposibilitados para representarlos gráficamente, los griegos no consideraron, en modo alguno, a los números negativos. Pero el álgebra los necesitaba para desarrollarse. Más sabios que los griegos, más eruditos que Omar Khayyám, los chinos y los hindúes reconocieron los números negativos antes de la era cristiana, no como aprendidos en la geometría, pues no tenían escrúpulos de conciencia con respecto a los números que no podían dibujar en un gráfico. Hay una repetición de esa indiferencia en desear representaciones concretas para ideas abstractas en las teorías contemporáneas de la física matemática (relatividad, mecánica de los cuantos, etc.), las que, si bien son comprensibles como símbolos en el papel, desafían diagramas, cuadros o metáforas adecuadas para explicarlas en términos de la experiencia común.

 Cardano, eminente matemático del siglo XVI, jugador y bribón de vez en cuando y a quien el álgebra le debe muchísimo, fue el primero que reconoció la verdadera importancia de las raíces negativas. Pero su conciencia científica lo reprendió hasta tal punto que las llamó "ficticias". Rafael Bombelli, de Bolonia, prosiguió la obra de Cardano donde éste la había dejado. Este último había hablado de las raíces cuadradas de números negativos, pero no llegó a comprender el concepto de imaginarios. En una obra publicada en 1572, Bombelli señaló que las cantidades imaginarias eran indispensables para la solución de muchas ecuaciones algebraicas de la forma x²  + a = 0, donde a es cualquier número mayor que cero y que no puede ser resuelta sino con el auxilio de imaginarios. Tratando de resolver una ecuación sencilla como x² + 1 = 0 hay dos alternativas. O la ecuación no tiene sentido, lo cual es absurdo, o x es la raíz cuadrada de -1, que también es absurdo. Pero las matemáticas tienen buen éxito con los absurdos y Bombelli salió del paso aceptando la segunda alternativa.»

  [El texto pertenece a la edición en español de Ediciones Orbis, 1987, en traducción de José Celdeiro Ricoy, pp. 99-102. ISBN: 84-85471-55-5.]

Asesinatos matemáticos.- Claudi Alsina (1952)

Disparates matemáticos de todos: Cinco de cada cuatro personas tienen problemas con las fracciones

SORPRESA EN LA FOTOCOPIADORA

  «Mi amigo JC ha quedado sorprendido de que al ampliar una portada de una revista (tamaño DIN A4) a un tamaño DIN A3, que es el doble de papel, las letras no han crecido el doble. Lo tranquilizo, pues este error de confundir doble superficie con doble longitud es muy común. Precisamente porque la superficie es doble, las longitudes se multiplicarán por √2, es decir, un 141 % de aumento.

     CAÑERÍAS COMPLEMENTARIAS

 Luis Villanueva, arquitecto, me cuenta que conoció a un fontanero que le dijo: Si tengo cañerías de 4 cm de diámetro las pongo, pero si no, pongo dos de 2 cm de diámetro y da lo mismo. ¡Precioso cálculo! Si los diámetros suman ¿todo da igual? La vieja fórmula del área del círculo (sección de la cañería) al multiplicar pi (3,14) por el cuadrado del radio (2) da 12,56 cm2. Pero con dos cañerías de radio 1 cm las dos secciones dan 2 × 3,14 × 1, o sea, 6,28 cm2, o sea que por “las dos” circulará la mitad de agua.

     FOTOGRAFÍAS EN DÍAS NUBLADOS

    

 Si se puede manipular la abertura del diafragma de una cámara fotográfica (¡quedan pocas!) y en lugar de poner el número 8 opta por el 5.6 para que entre más luz, ¿entrará mucha más? ¡Pues el doble! Estos números indican que los diámetros se relacionan por la √2 = 1,41, para que así la superficie de la abertura sea el doble. Lo mismo que con las cañerías, pero ahora con diámetros de diafragmas.

     EL PROBLEMA DE LA MEDIA COPA DE CAVA

 En muchas fiestas y celebraciones donde aparecen las copas de cava a rellenar parece que una actitud ponderada entre la timidez del sorbito y la audacia del “copa llena por favor”, es que usted pronuncie la esperada frase “póngame media copa”. Como siempre, a base de medias copas puede necesitar ser acompañado/a a casa en taxi o perder todos los puntos de su carné de conducir en su regreso motorizado, pero la discreción de las medias copas es siempre satisfactoria para el que bebe y discreta para el que reparte.

     Si se trata de un vaso cilíndrico, será siempre fácil marcar la “media copa” pues ésta se corresponde con la mitad de la altura.

     Pero las copas de cava suelen tener forma de cono invertido. ¿Qué sucede si usted marca tímidamente con un dedo la mitad de la altura de la copa? Gracias a lo que Tales ya observó, si h/2 es la mitad de la altura de la copa el radio del círculo líquido, r/2 será la mitad del radio r que correspondería a la copa llena por lo cual, recordando que el volumen del cono es un tercio del área de la base por la altura, su “media copa” le llevará a beber sólo un octavo de la copa llena. ¡Horror! Usted es amante de la prudencia, pero tampoco se encuentra en huelga de bebida. Su “media copa” debería corresponder a la mitad del volumen total: su dedo debe indicar una altura de la altura original, o sea un 80 % de la altura de la copa. Casi resulta increíble que las raíces cúbicas sean claves para tomar media copa de cava, pero así es. 

     LA DIVISIÓN REALMENTE JUSTA DEL PASTEL

 Dado que la mayoría de los pasteles no sólo presentan interesantes interiores sino sabrosas cimas y apetecibles laterales, surge la necesidad de abordar con realismo las divisiones realmente justas del pastel, es decir, divisiones que cumplan con tres requisitos esenciales:

     • Que cada ración tenga el mismo peso y volumen;

     • Que cada ración tenga la misma superficie de arriba;

     • Que cada ración tenga la misma superficie de la parte lateral.

     Normalmente, las dos primeras condiciones siempre se cumplen, pero no suele observarse la tercera. En la partición de un pastel redondo cortando desde el centro según los radios correspondientes, las tres condiciones se satisfacen. Pero en un pastel con forma de caja, al cortar a lo largo raciones equitativas hay quien recibe los extremos con mucha superficie lateral (azúcar, almendras, chocolate, nata…) y quien debe conformarse con las raciones centrales y sus dos miserables laterales. El tema es simple si hay 4 comensales y el cuchillo sigue los ejes de simetría, pero se complica, por ejemplo con 5 a repartir. Este tema ha sido investigado por golosos geómetras y se han podido encontrar multitud de soluciones para pasteles en forma de caja. Por ejemplo marcando los puntos del perímetro superior que corresponden a una quinta parte del perímetro y cortando desde el centro hasta estos puntos. Pero la solución más genial fue hallada por Sanford en el 2002. Se corta a lo largo de la diagonal y moviendo los dos trozos hasta formar un paralelepípedo, se procede a cortar mediante cortes paralelos adecuados en 5 [o las partes que sean]. Cada comensal recibe dos trozos pero con contenidos totales justos de verdad.

     LA GEOMETRÍA DE LOS QUESOS

 Cada tipo de queso se presenta en unas formas geométricas características y por ello un roquefort, un cabrales, un gruyère, etcétera, son plenamente identificables no sólo por su acreditado sabor sino por sus formas, color exterior y textura de la superficie envolvente: ¿es la forma geométrica de un queso arbitraria o tiene implicaciones en la propia calidad y personalidad del producto? La sorprendente respuesta es que la forma influye en el fondo.

     Diversos estudios han permitido ver que la forma de los moldes permite asegurar un tipo de compresión que influye en el queso, la forma puede influir en que distintos puntos interiores tengan características diferentes (no es lo mismo una forma de prisma que de esfera o de rueda). Así, los moldes rectangulares son más complejos que los redondeados, en el proceso de fermentación una forma prismática puede resquebrajarse fácilmente en las diferentes caras pero una forma circular asegura más uniformidad. Tanto el tamaño como la superficie exterior del queso influyen en el proceso de maduración del producto y por tanto la razón:

       Superficie exterior / Volumen total

 es un parámetro muy importante de consecuencias gustativas enormes.

    

     CÁLCULO DE CALORÍAS

     

 Dice una frase popular que una dieta es una selección de comida que hace posible a otras personas perder peso. Entramos así en el temido campo de las calorías. Hoy sabemos que el calor es una manifestación de energía y, por tanto, se mide en julios. Pero la vieja tradición del calor como «fluido» calórico transmisible de un cuerpo a otro ha quedado reflejada en la denominación obsoleta de “caloría”. De hecho se usan calorías en dos cosas diferentes: la caloría pequeña (cal) o caloría-gramo es la energía calorífica que se precisa para incrementar en un grado Celsius la temperatura de un gramo de agua (4,1868 julios). La caloría-grande (Cal) o caloría-kilogramo es la energía para elevar un grado Celsius un kilogramo de agua. En nutrición se usa la kilocaloría: 1 Cal = 1 kcal =1.000 cal = 4.184 julios. Es recomendable no mezclar “cal” con “Cal”.

     MITOS CALÓRICOS

 En etiquetas y dietas se sigue dando información sobre las kcal/kg y en kj/kg de las kilocalorías o kilojulios por kilogramo de alimento o se expresan kilocalorías aportadas por cada 100 gramos. La primera confusión surge entre la aportación de calorías de una medida general y lo que realmente aporta el producto etiquetado (informan sobre kilocalorías por kilogramo en un paquete de 125 gramos). Una segunda fuente de errores son las creencias populares que sólo los números pueden ayudar a ratificar o desmentir. Por ejemplo, pocas personas son conscientes de que:

     • Aportan más calorías los garbanzos que las judías secas.

     • La miel o las mermeladas con azúcar aportan lo mismo.

     • Las verduras congeladas dan menos aporte calórico que las naturales.

     • 100 gramos de cacahuetes equivalen a más de 650 gramos de patatas cocidas.

     • La leche de vaca en polvo es muchísimo más calórica que la normal.

     • El jamón dulce o de York equivale a la mortadela.

     • El solomillo de ternera da la mitad de calorías que el bistec.

    

    EL ERROR COMO VALOR AÑADIDO

 Las producciones en serie de sellos, monedas, billetes, postales, etc., a veces dan lugar a la aparición de extraños ejemplares cuya rareza inmediatamente adquiere una alta cotización en las subastas. Nada hay más valorado que un sello en el que el dibujo salió girado o un billete con números escritos al revés o erróneos. Errores en números, en tamaños, en colocaciones, en imágenes que son simétricas o están giradas, etc., para que la pieza entre en el museo de lo más valorado. Muy curioso.»

   [El texto pertenece a la edición en español de Editorial Ariel, 2011, pp. 37-40. ISBN: 978-84-344-7013-2.]

Armas de destrucción matemática. Cómo el big-data aumenta la desigualdad y amenaza la democracia.- Cathy O'Neil (1972)

Introducción

 «La crisis financiera dejó bien claro que las matemáticas, que una vez habían sido mi refugio, no sólo estaban profundamente involucradas en los problemas del mundo, sino que además agravaban muchos de ellos. La crisis inmobiliaria, la ruina de grandes entidades financieras, el aumento del desempleo: todo esto había sido impulsado e inducido por matemáticos que blandían fórmulas mágicas. Además, gracias a los extraordinarios poderes que tanto amaba, las matemáticas podrían combinarse con la tecnología para multiplicar el caos y la desgracia, lo que añadía eficacia y magnitud a unos sistemas que entonces comprendí que eran defectuosos. 

 Si hubiéramos estado lúcidos, habríamos dado un paso atrás en este punto para analizar cómo habíamos hecho un mal uso de las matemáticas y cómo podríamos evitar una catástrofe similar en el futuro. Sin embargo, en lugar de eso, justo después de la crisis, las nuevas técnicas matemáticas estaban más de moda que nunca y se extendían a un creciente número de áreas. Funcionaban veinticuatro horas al día procesando petabytes de información, en gran parte extraídos de las redes sociales o de páginas web de comercio electrónico. Y en lugar de prestar cada vez más atención a los movimientos de los mercados financieros mundiales, se dedicaban cada vez más a analizar a los seres humanos, a nosotros. Los matemáticos y los especialistas en estadísticas estudian nuestros deseos, nuestros movimientos y nuestro poder adquisitivo. Predecían nuestra solvencia y calculaban nuestro potencial como estudiantes, trabajadores, amantes o delincuentes. 

 Esta era la economía del big-data, y prometía ganancias especulares. Un programa de ordenador era capaz de procesar miles de currículos o solicitudes de préstamos en un par de segundos y clasificarlos en listas bien ordenadas, con los candidatos más prometedores situados en los primeros puestos. Estos programas no sólo permitían ahorrar tiempo, sino que además se anunciaban como procesos más justos y objetivos. Al fin y al cabo, eran procesos en los que no había seres humanos, con sus prejuicios, escarbando en montones de papel, sino simplemente máquinas procesando números de manera objetiva. En el año 2010 aproximadamente las matemáticas se habían impuesto como nunca antes en los asuntos humanos, y el público en general recibió el cambio con los brazos abiertos. 

 Y, sin embargo, yo veía problemas en el horizonte. Estas aplicaciones fundamentadas en las matemáticas que alimentaban la economía de los datos se basaban en decisiones tomadas por seres humanos que no eran infalibles. Seguro que algunas de esas decisiones se tomaban con la mejor de las intenciones, pero muchos de estos modelos programaban los prejuicios, las equivocaciones y los sesgos humanos en unos sistemas informáticos que dirigían cada vez más nuestras vidas. Cuales dioses, estos modelos matemáticos eran opacos y sus mecanismos resultaban invisibles para todos, salvo para los sumos sacerdotes del sector: los matemáticos y los ingenieros informáticos. Sus veredictos, incluso cuando estaban equivocados o eran perjudiciales, eran indiscutibles e inapelables y solían castigar a los pobres y los oprimidos de nuestra sociedad, al tiempo que enriquecían a los ricos. 

 Se me ocurrió un nombre para este tipo de modelos perniciosos: armas de destrucción matemática o ADM.  […]

01.-Partes de una bomba: ¿qué es un modelo?

 Estos son los 3 elementos que conforman un ADM: la opacidad, la escala y el daño. […]

07.-Sudar balas: en el trabajo.

 Los maestros, además de ser los educadores y cuidadores de nuestros hijos, son, evidentemente, trabajadores. En este sentido quiero profundizar un poco más en los modelos que puntúan su rendimiento, puesto que podrían aplicarse en el futuro a los trabajadores de otros sectores. Consideremos el caso de Tim Clifford, un profesor de secundaria que enseña Lengua y Literatura en Nueva York, con 26 años de experiencia. Hace unos años, Clifford descubrió que había suspendido la evaluación de docentes conocida como el modelo de valor añadido, […] la puntuación de Clifford había sido un ridículo 6 sobre 100. […] El modelo de valor añadido le había dado un suspenso, pero ningún consejo sobre cómo mejorarlo. Conque Clifford siguió dando clase como siempre lo había hecho y confío en que saldría bien. Al año siguiente su puntuación fue de 96. 

[…]

 Un análisis realizado por Gary Rubinstein, un bloguero y educador, demostró que uno de cada 4 profesores que enseñaban la misma asignatura en años consecutivos registraba una diferencia de 40 puntos en el modelo. Esto sugiere que los datos de evaluación son prácticamente aleatorios. No era el rendimiento de los profesores lo que variaba de un año a otro, lo que variaba era la puntuación generada por un ADM que era un auténtico fraude.

 Pese a que sus puntuaciones no tienen sentido alguno, el impacto del modelo de valor añadido es generalizado y muy dañino. “He visto a profesores geniales que, al ver los resultados de esas puntuaciones, empezaron a pensar que podían considerarse mediocres como mucho -dice Clifford-. Dejaron de dar las estupendas clases que solían impartir y se centraron cada vez más en la preparación de las pruebas de final de año. Un profesor joven sufrirá si saca una puntuación baja en el modelo de valor añadido, mientras que, si saca una puntuación alta, puede tener la falsa sensación de haber alcanzado importantes logros que aún no se ha ganado”. 

 Como en el caso de tantas otras ADM, el modelo de valor añadido nació de las buenas intenciones. La administración Obama pronto se percató de que los distritos perjudicados a consecuencia de las reformas de la ley de 2001 denominada “Que ningún niño se quede atrás”, que imponían unas pruebas homologadas muy exigentes, solían ser los más pobres y desfavorecidos. En consecuencia, decidió otorgar exenciones a los distritos que pudiesen demostrar la efectividad de sus maestros y profesores para asegurarse de que dichos centros no resultarían perjudicados aunque sus alumnos se quedaran rezagados. 

 La utilización de modelos de valor añadido nace en gran parte de este cambio legislativo. Sin embargo, a finales de 2015, la moda de la evaluación de los docentes tomó lo que podría ser un giro aún más dramático. En primer lugar, el Congreso y la Casablanca acordaron derogar la ley “Que ningún niño se quede atrás” y sustituirla por una que diese a los Estados mayor libertad para llevar a cabo sus propias estrategias de mejora de los distritos escolares con bajo rendimiento. También se les otorgó un abanico más amplio de criterios que podían considerar, como la implicación de los alumnos y de los profesores, el acceso a trabajo avanzado del curso, el ambiente escolar o la seguridad. En otras palabras, los responsables de educación podían empezar a estudiar lo que ocurre en cada centro individual, y prestar menos atención a las ADM similares a los modelos de valor añadido. O, mejor aún, desecharlas por completo. 

 Aproximadamente en esa misma época, la comisión especial de educación del gobernador de Nueva York, Andrew Cuomo, anunció una moratoria de cuatro años en el uso de exámenes para evaluar a maestros y profesores. A pesar de ser bien recibido, este cambio no marca un rechazo claro a las ADM de evaluación docente, ni mucho menos el reconocimiento de que son injustas. De hecho, la presión provenía de los padres, que se quejaban de que el régimen de pruebas dejaba exhaustos a sus hijos y consumía demasiado tiempo del curso académico. En la primavera de 2015, un movimiento de boicot impidió que un 20 por ciento de los alumnos de tercero a octavo curso (equivalentes a tercero de primaria y segundo de secundaria) realizasen las pruebas. Este movimiento sigue creciendo. Cediendo ante los padres, la administración Cuomo como asestó un duro golpe a los modelos de valor añadido. Al fin y al cabo, si no podía hacer las pruebas a todos los alumnos, el estado carecería de los datos necesarios para alimentar el modelo. 

 Tim Clifford se alegró mucho de esta noticia, aunque sigue preocupado. “El movimiento de boicot forzó a Cuomo a doblegarse –escribía en un correo-. Temía perder el apoyo de los votantes más ricos de los mejores distritos escolares, que fueron precisamente los que más incondicionalmente lo apoyaron. Ha otorgado esta moratoria sobre el uso de las puntuaciones de las pruebas para olvidarse del asunto”. Clifford teme que las pruebas volverán. 

 Y es posible que así sea. Y puesto que los modelos de valor añadido han resultado una herramienta efectiva contra los sindicatos de enseñantes, no creo que lleguen a desaparecer en el futuro cercano. Están bien afianzados: el distrito de Columbia y cuarenta estados en todo el país los usan o desarrollan de una forma u otra. Ésta es una razón más para hacer correr la voz sobre estas y otras ADM. Cuando la gente las reconozca y comprenda sus defectos estadísticos, exigirán evaluaciones más justas, tanto para los alumnos como para los docentes. Sin embargo, si el objetivo de las pruebas es encontrar a alguien a quien echarle la culpa e intimidar a los trabajadores,  entonces, como hemos visto, una ADM que escupe puntuaciones sin sentido saca un sobresaliente.» 

  

     [El texto pertenece a la edición en español de Capitán Swing Libros, 2017, en traducción de Violeta Arranz de la Torre, pp.10-11, 43, 166-167 y 171-173. ISBN: 978-84-947408-4-8.]

Antropología filosófica.- Ernst Cassirer (1874-1945)

 

XI.- La ciencia

  «Una de las primeras grandes experiencias de la humanidad es que existe una regularidad, una cierta uniformidad en el acaecer natural, en los movimientos de los planetas, en la salida del sol o de la luna, en el cambio de las estaciones; también en el pensamiento mítico esta experiencia ha sido reconocida plenamente y ha encontrado su expresión característica. Aquí tropezamos con las primeras huellas de la idea de un orden general de la naturaleza. Mucho antes de Pitágoras, este orden ha sido descrito no sólo en términos míticos sino también con símbolos matemáticos. El lenguaje mítico y el matemático se entrelazan en forma muy curiosa en los primeros sistemas de la astrología babilónica, que podemos datar en un periodo tan antiguo como por los años 3800 a. c. Los astrónomos babilónicos introdujeron la distinción entre los diferentes grupos de astros y la división duodecimal del Zodiaco; no pudieron haberse obtenido estos resultados sin disponer de una nueva base teórica. Pero fue necesaria, todavía, una generalización mucho más osada para crear la primera filosofía del mundo. Los pensadores pitagóricos son los primeros en concebir el número como un elemento omnicomprensivo, como un universal real. Su uso ya no se halla confinado a los límites de un campo especial de la investigación, se extiende a todo el campo del ser. Cuando Pitágoras hizo su primer gran descubrimiento, cuando encontró que el tono dependía de la longitud de las cuerdas, lo decisivo para la orientación futura del pensamiento filosófico y matemático no fue el hecho mismo sino su interpretación. Pitágoras no podía pensar en este descubrimiento como un fenómeno aislado. Parecía haberse revelado uno de los misterios más profundos, el de la belleza. Para la mente griega la belleza ha tenido siempre una significación enteramente objetiva. La belleza es verdad; constituye un carácter fundamental de la realidad. Si la belleza que sentimos en la armonía de los sonidos se puede reducir a una simple proporción numérica, entonces resulta que el número nos revela la estructura fundamental del orden cósmico. "El número —dice uno de los textos pitagóricos— es el guía y maestro del pensamiento humano. Sin su poder todo quedaría oscuro y confuso." No viviríamos en un mundo de verdad sino en un mundo de decepción e ilusión. En el número y sólo en él encontramos un universo inteligible.

 Pensar que este universo constituye un nuevo universo del discurso —el mundo del número es un mundo simbólico— era una concepción ajena por completo a la mente de los pensadores pitagóricos. En éste, lo mismo que en todos los demás casos, no podía existir una distinción aguda entre símbolo y objeto. El símbolo no sólo explicaba el objeto sino que ocupaba su lugar definitivamente. Las cosas no sólo guardaban relación con los números o eran expresables por ellos sino que eran ellos. Ya no admitimos esta tesis pitagórica de la realidad sustancial del número; no lo consideramos como el verdadero núcleo de la realidad, pero tenemos que reconocer que el número constituye una de las funciones fundamentales del conocimiento humano, un paso necesario en el gran proceso de objetivación que comienza con el lenguaje pero, con la ciencia, adopta una forma enteramente nueva, pues el simbolismo del número es de un tipo lógico totalmente diferente del simbolismo del lenguaje. En éste encontramos los primeros esfuerzos de clasificación, pero siguen siendo inconexos, no nos llevan a una verdadera sistematización. Los símbolos verbales no poseen ellos mismos un orden sistemático definido. Todo término lingüístico posee un área especial de sentido. Como dice Gardiner, es "un rayo de luz que ilumina ahora esta porción y luego esa otra del campo en que radica la cosa o, más bien, la compleja concatenación de cosas significada por una frase". (The Theories of Speech and Language, p. 51.) Pero todos estos diferentes rayos de luz no poseen un foco común, se hallan dispersos y aislados. En la "síntesis de lo múltiple" cada nueva palabra arranca de nuevo.

 Esta situación cambia por completo en cuanto entramos en el reinado del número. Ya no podemos hablar de números singulares o aislados. La esencia del número es siempre relativa, no absoluta. El número singular no es más que un lugar singular en un orden sistemático general, no posee un ser propio, una realidad autosuficiente; su sentido se define por la posición que ocupa en todo el sistema numérico. La serie de los números naturales es una serie infinita, pero esta infinitud no pone límites a nuestro conocimiento teórico. No significa una indeterminación, un ápeiron en el sentido platónico, sino justamente lo contrario. En la progresión de los números no tropezamos con una limitación externa, con un último término; pero sí encontramos limitación en virtud de un principio lógico intrínseco. Todos los términos se hallan vinculados entre sí por un nexo común; se originan por una y la misma relación  genética, que conecta un número n con su sucesor inmediato (n + 1). De esta relación tan sencilla podemos derivar todas las propiedades de los números enteros. La señal distintiva y el privilegio lógico máximo de este sistema es su transparencia completa. En nuestras teorías modernas —en las teorías de Frege y Russell, de Peano y Dedekind— el número ha perdido todos sus secretos ontológicos. Lo concebimos como un nuevo y poderoso simbolismo que, por lo que respecta a los fines científicos, es infinitamente superior al simbolismo del lenguaje. No encontramos palabras dispersas sino términos que proceden según el mismo plan fundamental y que nos ofrecen, por lo tanto, una ley estructural clara y definida.

  Sin embargo, el descubrimiento pitagórico no significa más que un primer paso en el desenvolvimiento de la ciencia natural. Toda la teoría del número fue súbitamente puesta en cuestión por un nuevo hecho. Cuando los pitagóricos se dieron cuenta de que en un triángulo rectángulo la hipotenusa no era conmensurable con los catetos, tuvieron que encararse con un problema enteramente nuevo. Sentimos la profunda repercusión de este dilema en toda la historia del pensamiento griego, especialmente en los diálogos de Platón. Significa una auténtica crisis de la matemática griega. Ningún pensador antiguo podía resolver el problema a la manera moderna, introduciendo los llamados "números irracionales". Desde el punto de vista de la lógica y de las matemáticas griegas, la expresión "números irracionales" es una contradicción en los términos. Era un άρρητον, algo que no puede ser pensado y de lo que no se puede hablar. Desde que el número ha sido definido como un entero o como una razón entre enteros, una longitud inconmensurable era una longitud que no admitía ninguna expresión numérica, que desafiaba y aniquilaba los poderes lógicos del número. Lo que los pitagóricos buscaron y encontraron en el número fue la armonía perfecta de todas las especies del ser y de todas las formas del conocimiento, de la percepción, de la intuición y del pensamiento. A partir de entonces, la aritmética, la geometría, la física, la música y la astronomía parecían formar un todo único y coherente. Todas las cosas en el cielo y en la tierra se convertían en "una armonía y un número". Pero el descubrimiento de las longitudes inconmensurables significaba el quebrantamiento de esta tesis; ya no existía armonía real entre aritmética y geometría, entre el campo de los números discretos y el campo de las cantidades continuas.

 Fue menester el esfuerzo de varias centurias del pensamiento matemático y filosófico para restaurarla. Uno de los últimos logros del pensamiento matemático ha sido la teoría lógica del continuo matemático. Sin ella, toda creación de números nuevos —números fraccionarios, números irracionales, etc.— parecía siempre una empresa muy dudosa y precaria. Si la mente humana podía crear por su propio poder arbitrariamente una nueva esfera de cosas, teníamos que cambiar nuestros conceptos acerca de la verdad objetiva. También en esta ocasión el dilema pierde su fuerza en cuanto tomamos en consideración el carácter simbólico del número. En tal caso se hace evidente que al introducir nuevas clases de números no creamos objetos nuevos sino símbolos nuevos. Los números naturales se hallan a este respecto en el mismo nivel que los números fraccionarios o irracionales. Tampoco son ellos descripciones o imágenes de cosas concretas, de objetos físicos; expresan, más bien, relaciones verdaderamente simples. La ampliación del ámbito natural de los números, su extensión a un campo más ancho, no significa más que la introducción de nuevos símbolos aptos para describir relaciones de un orden superior. Los números nuevos son símbolos, no de relaciones simples, sino de relaciones de relaciones, de relaciones de relaciones de relaciones y así sucesivamente. Todo esto no está en contradicción con el carácter de los números enteros sino que lo aclara y confirma. Para llenar los hiatos entre los números enteros, que son cantidades discretas, y el mundo de los fenómenos físicos contenido en el continuo de espacio y tiempo, el pensamiento matemático se vio obligado a buscar un nuevo instrumento. Si el número fuera una cosa, una substantia quae in se est et per se concipitur, el problema hubiera sido insoluble. Como era lenguaje simbólico, bastaba con desarrollar el vocabulario, la morfología y la sintaxis de este lenguaje en una forma consecuente. No hacía falta un cambio en la naturaleza y esencia del número sino sólo un cambio de sentido. Una filosofía de las matemáticas tiene que probar que un cambio semejante no conduce a una ambigüedad o a una contradicción, que cantidades no aptas de ser expresadas exactamente por números enteros o la razón entre ellos se hacen completamente comprensibles y expresables con la introducción de símbolos nuevos.

 Uno de los primeros grandes descubrimientos de la filosofía moderna consiste en haber visto que todas las cuestiones geométricas admiten semejante transformación. La geometría analítica de Descartes ofreció la primera prueba convincente de la relación entre la extensión y el número. A partir de entonces, el lenguaje de la geometría cesó de ser un idioma especial; se convirtió en parte de un lenguaje mucho más amplio, de una mathesis universalis; pero no le fue posible a Descartes dominar el mundo físico, el mundo de la materia y del movimiento, en la misma forma. Sus intentos para desarrollar una física matemática fracasaron. El material de nuestro mundo físico se compone de datos sensibles y los hechos indóciles y refractarios representados por ellos parecían resistir a todos los esfuerzos del pensamiento lógico y racional de Descartes. Su física resultó una urdimbre de supuestos arbitrarios, pero si pudo equivocarse como físico en sus medios, no se equivocó en su propósito filosófico fundamental que, a partir de entonces, se comprendió con claridad y quedó establecido con firmeza. En todas sus ramas, la física tiende al mismo punto; trata de colocar el mundo de los fenómenos naturales bajo el control del número.»

 

  [El texto pertenece a la edición en español de Fondo de Cultura Económica, 1968, en traducción de Eugenio Imaz, pp. 181-184.]