Mi visión del mundo.- Albert Einstein (1879-1955)

 

Quinta parte: Estudios científicos

Geometría y experiencia

«Las matemáticas gozan de prestigio propio frente a las demás ciencias. El motivo es que sus proposiciones son absolutamente ciertas e indiscutibles, mientras que todas las proposiciones de las demás ciencias son discutibles hasta cierto punto y corren siempre peligro de quedar invalidadas por nuevos descubrimientos. A pesar de ello, el investigador de otra área no necesitaría envidiar la suerte del matemático, cuyas proposiciones no se refieren a hechos de la realidad sino sólo de nuestra imaginación. No debe sorprender que se llegue a conclusiones lógicas congruentes si uno se ha puesto de acuerdo en los axiomas fundamentales, así como en el método a seguir. De este método y de los axiomas fundamentales deberán deducirse todas las proposiciones. Por otra parte, este gran prestigio de las matemáticas descansa en el grado de seguridad que confieren a las ciencias de la naturaleza, grado que éstas no podrían alcanzar sin su ayuda.

 Llegados a este punto, surge el problema que tanto ha preocupado a los científicos de todos los tiempos. ¿Cómo es posible que las matemáticas encajen con tanta perfección en los hechos de la realidad, siendo un producto del pensamiento humano independiente de toda experiencia? ¿Acaso el intelecto humano puede profundizar, a través del pensamiento puro, en las propiedades de los objetos reales sin la ayuda de la experiencia?

 Según mi opinión, esa pregunta puede responderse como sigue: cuando las proposiciones matemáticas se refieren a la realidad, no son ciertas; cuando son ciertas, no hacen referencia a la realidad. Creo que este estado de cosas se me ha aclarado por completo gracias a esa parte de las matemáticas conocida como axiomática. El avance logrado por la axiomática consiste precisamente en que a través de ella se trazó una frontera nítida entre lo lógico-formal y el contenido práctico. Únicamente lo lógico-formal constituye, con arreglo a la axiomática, el objetivo de las matemáticas. No así la intuición ni cualquier otro tema vinculado a lo lógico-formal.

 Consideremos con arreglo a este criterio cualquier axioma de la geometría. Por ejemplo, el siguiente: por dos puntos del espacio pasa siempre una, y sólo una, recta. ¿Cómo se ha de interpretar este axioma según el criterio antiguo y el nuevo?

 Interpretación antigua: todo el mundo sabe lo que es una recta y lo que es un punto. Que esto se sepa gracias a una facultad del espíritu humano, o bien mediante la experiencia, o bien debido a una combinación de ambas, o por cualquier otra causa, no necesita decidirlo el matemático. Queda a cargo del filósofo. El citado axioma (al igual que todos los demás) se basa en un conocimiento anterior a toda matemática. Y por eso es un término apto para expresar una parte de este saber a priori.

 Interpretación nueva: la geometría trata de hechos descritos por las palabras recta, punto, etcétera. No se supone ningún conocimiento u opinión acerca de estos temas. Sólo se supone la validez puramente formal de los axiomas comprendidos, esto quiere decir, independizados de cualquier contenido intuitivo o experimental. Estos axiomas definen los hechos de que trata la geometría. Por esto Schlick, en su libro sobre la teoría del conocimiento de causas, ha descrito tan acertadamente los axiomas como "definiciones implícitas".

 Esta apreciación, sustentada por la axiomática moderna, purifica a las matemáticas de todos los elementos no pertenecientes a ellas y suprime la oscuridad mística que anteriormente era inherente a su fundamento. Una exposición tan clara pone en evidencia que las matemáticas están en condiciones de inducir afirmaciones, tanto sobre los hechos de la intuición imaginativa, como sobre los hechos de la realidad. Los conceptos "punto", "recta", etcétera se han de comprender en la geometría axiomática sólo como nociones esquemáticas sin contenido. Lo que les da contenido no corresponde a las matemáticas.

 Por otra parte también es cierto que las matemáticas, y en especial la geometría, deben su origen a la necesidad de averiguar el comportamiento de los objetos reales. La palabra "geometría" que al fin y al cabo significa "mediciones geodésicas", ya pone esto en evidencia. Pues la medición geodésica trata de las posibilidades de localización relativa entre varios cuerpos físicos, es decir, de partes de la tierra, jalones, instrumentos de medición, etcétera. Queda claro que el método conceptual de la geometría axiomática por sí solo no puede suministrar ninguna afirmación sobre los objetos de la realidad que nosotros queremos conceptuar como cuerpos prácticamente rígidos. Para proporcionar tales afirmaciones hay que despojar a la geometría axiomática de su carácter únicamente lógico-formal, aunque se podrá añadir hechos experimentales de la realidad a los esquemas de comprensión de la geometría axiomática. Para realizar esto, basta con añadir la siguiente proposición:

 En cuanto atañe a posibilidades de localización, los cuerpos rígidos se comportan  como los cuerpos tridimensionales de la geometría euclidiana; pues las proposiciones de la geometría euclidiana contienen afirmaciones sobre el comportamiento de los cuerpos prácticamente rígidos.

 La geometría así completada es sin duda una ciencia de la naturaleza; de hecho la podemos considerar como la rama más antigua de la física. Sus afirmaciones se refieren ante todo a la inducción de la experiencia; y no sólo a claves lógicas. A la geometría así completada la llamaremos "geometría práctica" para distinguirla en lo sucesivo de la geometría axiomática. Que la geometría práctica del mundo sea una geometría euclidiana o no es una pregunta de significado obvio, a la que sólo puede responderse mediante la experiencia. Todas las medidas de distancias largas, así como las mediciones geodésicas y astronómicas, son geometría práctica en la física, si nos ayudamos de la siguiente proposición experimental: la luz se propaga en línea recta y solamente en línea recta según el sentido de la geometría práctica.»

 

   [El texto pertenece a la edición en español de la editorial Tusquets Editores, 1997, en traducción de Sara Gallardo y Marianne Bübeck. ISBN: 84-7223-919-5.]

 

"Monadología".- Gottfried W. Leibniz (1646-1716)

  

«Nuestros razonamientos están fundados en dos grandes principios, el de contradicción, en virtud del cual juzgamos falso lo que encierra contradicción y verdadero lo que es opuesto a, o contradictorio con, lo falso. (Teodicea, §§ 44 y 169)

 Y el de razón suficiente, en virtud del cual consideramos que no puede encontrarse ningún hecho verdadero o existente, ni ninguna enunciación verdadera sin que haya una razón suficiente para que sea así y no de otro modo. A pesar de que esas razones muy a menudo no pueden ser conocidas por nosotros. (Teodicea, §§ 44 y 196)

 Hay dos clases de verdades: las de razonamiento y las de hecho. Las verdades de razonamiento son necesarias y su opuesto es imposible , y las de hecho son contingentes y su opuesto es posible. Cuando una verdad es necesaria, se puede encontrar su razón por medio del análisis, resolviéndola en ideas y verdades más simples hasta que se llega a las primitivas. (Teodicea, §§ 170, 174, 189, 280-282, 367, Resumen Teodicea, objeción 3.)

 Así es como, entre los matemáticos, los teoremas de especulación y los cánones de práctica son reducidos mediante el análisis a las definiciones, axiomas y postulados.

 Por último, hay ideas simples de las que no es posible dar definición; también hay axiomas y postulados o, en una palabra, principios primitivos que no podrían ser probados y no tienen necesidad de ello; y éstos son las enunciaciones idénticas, cuyo opuesto contiene una contradicción expresa.

 Pero la razón suficiente debe encontrarse también en las verdades contingentes o de hecho, es decir, en la serie de las cosas difundidas por el universo de las criaturas; en donde la resolución en razones particulares podría descender hasta un detalle sin límites, a causa de la inmensa variedad de las cosas de la Naturaleza y de la división de los cuerpos al infinito. Hay una infinidad de figuras y de movimientos presentes y pasados que entran en la causa eficiente de mi escritura actual, y hay una infinidad de pequeñas inclinaciones y disposiciones de mi alma, presentes y pasadas, que entran en la causa final. (Teodicea, §§ 36, 37, 44, 45, 49, 52, 121, 122, 337, 340, 344)

 Y como todo este detalle no encierra sino otros contingentes anteriores o más detallados, cada uno de los cuales precisa también de un análisis semejante para dar razón de él, no se ha avanzado nada: es necesario, pues, que la razón suficiente o última se halle fuera de la sucesión o serie de este detalle de contingencias, por infinito que pudiera ser.

 Por eso, la última razón de las cosas debe estar en una sustancia necesaria, en la que el detalle de los cambios no se halle sino eminentemente, como en su origen. Y esto es lo que llamamos Dios. (Teodicea,  § 7)

 Ahora bien, siendo esta sustancia una razón suficiente de todo ese detalle que, a su vez, está trabado por todas partes, no existe más que un Dios y este Dios basta.

 Se puede juzgar también que esta Sustancia Suprema que es única, universal y necesaria, al no tener fuera de sí nada que no dependa de ella y al ser una consecuencia simple del ser posible, debe ser incapaz de límites y contener tanta realidad como sea posible.

 De donde se sigue que Dios es absolutamente perfecto, no siendo la perfección sino la magnitud de la realidad positiva tomada estrictamente, dejando de lado los límites o confines en las cosas que los tienen. Y allí donde no hay límites en absoluto, es decir, en Dios, la perfección es absolutamente infinita. (Teodicea,  § 22 y Prefacio § 4.a.)

 Se sigue también que las criaturas reciben sus perfecciones de la influencia de Dios, pero que sus imperfecciones provienen de su propia naturaleza, incapaz de ser sin límites. Pues en esto se distinguen de Dios. (Teodicea, §§ 20, 27-31, 153, 167, 377 y ss., 30, 380 y Resumen, objeción 5)

 También es cierto que en Dios está no sólo el origen de las existencias, sino también el de las esencias, en tanto que son reales, o de lo que hay de real en la posibilidad. Ello es debido a que el entendimiento de Dios es la región de las verdades eternas, o de las ideas de las que dependen, y a que sin él no se daría nada real en las posibilidades y no sólo nada existente, incluso tampoco nada posible. (Teodicea, § 20)

 Pues es en efecto necesario que, si hay alguna realidad en las esencias o posibilidades, o bien en las verdades eternas, esa realidad se funde en algo existente y actual, y, por consiguiente, en la existencia del Ser Necesario, en el cual la esencia incluye la existencia, o en el cual es suficiente ser posible para ser actual. (Teodicea, §§ 184, 189, 335)

 Así, sólo Dios (o el Ser Necesario) goza del siguiente privilegio: que es necesario que exista si es posible. Y como nada puede impedir la posibilidad de lo que no encierra ningún límite, ninguna negación y, por consiguiente, ninguna contradicción, esto sólo basta para conocer la existencia de Dios a priori. También la hemos probado por la realidad de las verdades eternas.

 Pero acabamos de probarla también a posteriori, puesto que existen seres contingentes que no pueden tener su razón última  o suficiente sino en el Ser Necesario, que tiene la razón de su existencia en sí mismo.

 Sin embargo, no cabe imaginar en absoluto, como algunos, que las verdades eternas, siendo dependientes de Dios, son arbitrarias y dependen de su voluntad, tal como parece haber concebido Descartes y después Poiret. Esto no es cierto más que en lo que hace referencia a las verdades contingentes, cuyo principio es la conveniencia o elección de lo mejor; por el contrario, las verdades necesarias dependen únicamente de su entendimiento y son  su objeto interno. (Teodicea, §§ 180-184, 185, 335, 351, 380)

 Por tanto, sólo Dios es la Unidad Primitiva o la sustancia simple originaria, de la cual todas las Mónadas creadas o derivadas son producciones; éstas nacen, por así decirlo, por fulguraciones continuas de la divinidad, de momento en momento, limitadas por la receptividad de la criatura, a la cual le es esencial ser limitada. (Teodicea, §§ 382-391, 398, 395).»

 

"Ética demostrada según el orden geométrico".- Baruch Spinoza (1632-1677)

 

Parte primera: de Dios.

 "Definiciones:

 

 I.-Por causa de sí entiendo aquello cuya esencia implica la existencia o, lo que es lo mismo, aquello cuya naturaleza sólo puede concebirse como existente.

 II.-Se llama finita en su género aquella cosa que puede ser limitada por otra de su misma naturaleza. Por ejemplo, se dice que es finito un cuerpo porque concebimos siempre otro mayor. De igual modo, un pensamiento es limitado por otro pensamiento. Pero un cuerpo no es limitado por un pensamiento, ni un pensamiento por un cuerpo.

 III.-Por substancia entiendo aquello que es en sí y se concibe por sí, esto es, aquello cuyo concepto, para formarse, no precisa del concepto de otra cosa.

 IV.-Por atributo entiendo aquello que el entendimiento percibe de una substancia como constitutivo de la esencia de la misma.

 V.-Por modo entiendo las afecciones de una substancia, o sea, aquello que es en otra cosa, por medio de la cual es también concebido.

 VI.-Por Dios entiendo un ser absolutamente infinito, esto es, una substancia que consta de infinitos atributos, cada uno de los cuales expresa una esencia eterna e infinita.

 Explicación: digo absolutamente infinito, y no en su género; pues de aquello que es meramente infinito en su género podemos negar infinitos atributos, mientras que a la esencia de lo que es absolutamente infinito pertenece todo cuanto expresa su esencia, y no implica negación alguna.

 VII.-Se llama libre a aquella cosa que existe en virtud de la sola necesidad de su naturaleza y es determinada por sí sola a obrar; y necesaria, o mejor compelida, a la que es determinada por otra cosa a existir y operar, de cierta y determinada manera.

 VIII.-Por eternidad entiendo la existencia misma, en cuanto se la concibe como siguiéndose necesariamente de la sola definición de una cosa eterna.

 Explicación: en efecto, tal existencia se concibe como una verdad eterna, como si se tratase de la esencia de la cosa y por eso no puede explicarse por la duración o el tiempo aunque se piense la duración como careciendo de principio y fin.

 

Axiomas:

 

 I.-Todo lo que es o es en sí o en otra cosa.

 II.-Lo que no puede concebirse por medio de otra cosa, debe concebirse por sí.

 III.-De una determinada causa dada se sigue necesariamente un efecto y, por el contrario, si no se da causa alguna determinada es imposible que un efecto se siga.

 IV.-El conocimiento del efecto depende del conocimiento de la causa, y lo implica.

 V.-Las cosas que no tienen nada en común una con otra tampoco pueden entenderse una por otra, esto es, el concepto de una de ellas no implica el concepto de la otra.

 VI.-Una idea verdadera debe ser conforme a lo ideado por ella.

 VII.-La esencia de todo lo que puede concebirse como no existente no implica la existencia". 

"La carta robada".- Edgar Allan Poe (1809-1849)

    

"¿No ve usted que él considera como una cosa demostrada que "todo" hombre que quiera ocultar una carta utiliza, si no precisamente un agujero hecho con berbiquí en la pata de una silla, al menos "alguna" cavidad o rincón por el estilo, sugerido por la misma tendencia del pensamiento que le impelía a ocultar una carta en un agujero hecho en la pata de una silla con un berbiquí? ¿Y no ve usted que escondrijos tan complicados sólo son utilizados en ocasiones ordinarias y sólo son adoptados por inteligencias ordinarias? Porque en todos los casos de ocultación, la forma de hacerlo es, en principio, presumible y presumida, y su descubrimiento depende no sólo de la agudeza sino también del simple cuidado, de la paciencia, o de la decisión de los buscadores. Y cuando el caso es importante, o lo que es lo mismo a los ojos de la policía, cuando la recompensa es crecida, las cualidades en cuestión fracasan terriblemente. Ahora comprenderá usted lo que yo quería decir al afirmar que si la carta robada hubiera estado oculta en el radio de acción de las pesquisas de nuestro prefecto (en otras palabras, si el principio inspirador hubiera estado comprendido en los principios del prefecto), la habría descubierto sin la menor duda. Sin embargo, ese funcionario ha sido completamente engañado, y el remoto origen de su derrota consiste en la suposición de que el ministro es un loco porque ha adquirido reputación como poeta. Todos los locos son poetas, según piensa el prefecto, y sólo es él el culpable de la conclusión de que todos los poetas son locos.

 -Pero, ¿es realmente poeta? -pregunté-. Sé que son dos hermanos y que ambos han logrado reputación en el campo de la literatura. Creo que el ministro ha escrito un libro muy erudito sobre el cálculo diferencial. Es un matemático, no un poeta.

 -Está usted equivocado. Le conozco muy bien, es ambas cosas. Como poeta y matemático, ha debido razonar perfectamente; como simple matemático no habría razonado en absoluto, y hubiese quedado así a merced del prefecto.

 -Me sorprende usted con semejante opinión -dije- que está desmentida por la voz del mundo entero. No querrá usted destruir una idea asimilada por varios siglos. Hace mucho tiempo que la razón matemática está considerada como la razón por excelencia.

 -Il y a a'parier -repuso Dupin, citando a Chamfort- que toute idée publique, toute convention reçue, est une sottise, car elle a convenue au plus grand nombre (1). Le concedo que los matemáticos han hecho todo lo posible por difundir el error popular a que usted alude, el cual no deja de ser un error aun habiendo sido propagado como verdad. Por ejemplo, nos han acostumbrado, con un arte digno de mejor causa, a aplicar el término "análisis" en el álgebra poco más o menos como en latín ambitus significa ambición, religio religión y hoienes honesti una clase de hombres honorables.

 -Veo que va usted a tener un altercado con los algebristas de París; pero continúe.

 -Discuto la validez y por tanto el valor de una razón cultivada por cualquier forma especial que no sea la alógica abstracta. Discuto, en particular, el razonamiento deducido del estudio de las matemáticas. Las matemáticas son la ciencia de la forma y la cantidad; el razonamiento matemático es la simple lógica aplicada a la observación de la forma y la cantidad. El gran error consiste en suponer que las verdades que se llaman "puramente" algebraicas son verdades abstractas o generales. Y este error es tan enorme que me admira la unanimidad con que ha sido acogido. Los axiomas matemáticos no son "axiomas" de una verdad general. Lo que es cierto en una relación de forma o cantidad, es con frecuencia un grosero error en cuanto a la moral, por ejemplo. En esta última ciencia suele ser falso que la suma de las partes es igual al todo. También en química es falso este axioma. En la apreciación de una fuerza motriz yerra asimismo, pues dos motores, cada uno de una fuerza dada, no tienen necesariamente, al asociarse, una potencia igual a la suma de sus potencias consideradas por separado. Hay muchas otras verdades matemáticas que no son verdades, sino en los límites de "relación". Pero el matemático, por rutina, argumenta en relación con sus "verdades" finitas como si fueran de una aplicación  general y absoluta, valor que, por otra parte, el mundo les atribuye".

 

(1) Puede apostarse que toda idea pública, toda convención admitida, es una necedad, porque ha convenido a la mayoría.   

"Discursos y cartas". Benito Jerónimo Feijoo (1676-1764)

  

"Razón del gusto.

 

  Es axioma recibido de todo el mundo, que contra gusto no hay disputa. Y yo reclamo contra este recibidísimo axioma, pretendiendo que cabe disputa sobre el gusto, y cabe razones que le abonen o le disuadan.

  Considero que al verme el lector constituido en este empeño creerá que me armo contra el axioma con el sentir común de que hay gustos malos que llaman estragados: Fulano tiene mal gusto en esto, se dice a cada paso. De donde parece se infiere que cabe disputa sobre el gusto, pues si hay gustos malos y gustos buenos, como la bondad o malicia de ellos no consta muchas veces con evidencia, antes unos pretenden que tal gusto es bueno y otros que malo, pueden darse razones por una y otra parte, esto es, que prueben la malicia y la bondad.

  Pero estoy tan lejos de aprovecharme de esta vulgaridad que antes siento que hablando filosóficamente nunca se puede decir con verdad que hay gusto malo o que alguno tiene mal gusto, sea en lo que se fuere. Distinguen los filósofos tres géneros de bienes: el honesto, el útil y el delectable. De estos tres bienes sólo el último pertenece al gusto: los otros dos están fuera de su esfera. Su único objeto es bien delectable y nunca puede padecer error en orden a él. Puede la voluntad abrazar como honesto un objeto que no sea honesto, o como útil el que es inútil, por representárselos tales falsamente el entendimiento. Pero es imposible que abrace como delectable objeto que realmente no lo sea. La razón es clara: porque si lo abraza como delectable, gusta de él; si gusta de él, actual y realmente es delectable el objeto. Luego el gusto en razón de gusto siempre es bueno con aquella bondad real que únicamente le pertenece, pues la bondad real que toca el gusto en el objeto, no puede menos de refundirse en el acto.

  Ni se me diga que cuando el gusto se llama malo no es porque carece de bondad delectable, sino de la honesta o de la útil. Hago manifiesto que no es así. Cuando uno en día que le está prohibida toda carne, come una bella perdiz, aquel acto es sin duda inhonesto; con todo, nadie por eso dice que tiene mal gusto en comer la perdiz. Tampoco cuando gusta en regalarse más de lo que alcanzan sus medios y de ese modo va arruinando su hacienda, se dice que tiene mal gusto, aunque ese gusto carece de bondad útil: luego sólo se llama mal gusto el que carece de otra bondad distinta de la honesta y la útil. No hay otra distinta que la delectable y de ésta tengo probado que nunca carece el gusto: luego, contra toda razón se dice que algún gusto, sea el que se fuere es malo.

  Los africanos gustan del canto de los grillos más que de cualquiera otra música. Ateas, rey de los Escitas, quería más oír los relinchos de su caballo que al famoso músico Ismenias. ¿Dirase que aquéllos tienen mal gusto y éste lo tiene peor? No, sino bueno, así éste como aquéllos. Quien percibe deleite en oír esos sonidos, tiene el gusto bueno con la bondad delectable. Muchos pueblos septentrionales comen las carnes del oso, lobo y del zorro; los tártaros, las del caballo; los árabes, las del camello. En partes de la África se comen cocodrilos y serpientes. ¿Tienen todos éstos mal gusto? No, sino bueno. Sábenles bien esas carnes y es imposible saberles bien y que el gusto sea malo, o por mejor decir, ser gusto, y ser malo es implicación manifiesta, porque sería lo mismo que tener bondad delectable y carecer de ella,

  Con todo esto digo que caben disputas sobre el gusto. Para cuya comprobación me es preciso impugnar otro error común que se da la mano con el expresado; esto es, que no se puede dar razón del gusto. Tiénese por pregunta extravagante si uno pregunta a otro por qué gusta de tal cosa y juzga el preguntado que no hay otra respuesta que dar sino gusto porque gusto, o gusto porque es de mi gusto o porque me agrada, etcétera, lo que nace de la común persuasión que hay de que del gusto no se puede dar razón. Yo estoy en la contraria".