Matemáticas e imaginación.- Edward Kasner (1878-1955) y James Newman (1907-1966)

Pie (𝝿, 𝒊, 𝒆). Trascendente e imaginario

 «Un universo donde faltaran 𝝿 y 𝒆, como lo ha dicho algún espíritu antropomórfico, no sería inconcebible. Difícilmente uno podría imaginarse que el sol dejara de salir o que las mareas cesaran de producirse por falta de 𝝿 y 𝒆. Pero sin estos artificios matemáticos, lo que sabemos del sol y las mareas, a pesar de nuestra habilidad para describir todos los fenómenos naturales, físicos, biológicos, químicos o estadísticos, estaría reducida a dimensiones primitivas.

𝒊

 Alicia estaba censurando a Humpty Dumpty por las prerrogativas que tomaba con respecto a las palabras: "Cuando yo uso una palabra", replicó Humpty con un tono despreciativo, "ella significa precisamente aquello que yo quise decir, ni más ni menos". "La cuestión es", dijo Alicia, "si usted puede hacer que una palabra signifique tantas cosas diferentes". "La cuestión es", dijo Humpty, "conocer a fondo el asunto, eso es todo".

 Aquellos que están preocupados (y son muchos) , por la palabra "imaginario", tal como se la usa en matemáticas, deberían prestar atención a las palabras de Humpty Dumpty. Por supuesto que, a lo sumo, esto es cosa de poca importancia. Repetidas veces en las matemáticas, a palabras muy diferentes se les atribuyen significados técnicos. Pero, como lo ha dicho tan perspicazmente Whitehead, esto sólo es confuso para inteligencias inferiores. Cuando una palabra está definida con precisión y significa solamente una cosa, no hay más razón para criticar su uso que para criticar el uso de un nombre propio. Nuestros nombres de pila pueden no agradarnos, o no podrán satisfacer a nuestros amigos, pero ocasionan pocas equivocaciones. La confusión surge únicamente cuando la misma palabra tiene varias acepciones y constituye lo que Humpty Dumpty llama una "maleta de viaje".

 La semántica, una ciencia que hoy día está de moda, se dedica al estudio del uso adecuado de las palabras. Sin embargo, hay mucha mayor necesidad de la semántica en otras ramas de la ciencia que en las matemáticas. En efecto, la mayor parte de los males que aquejan hoy al mundo, provienen del hecho de que algunas de sus más volubles alabanzas son, por cierto, antisemánticas.

 Un número imaginario representa una idea matemática precisa. Se impuso por la fuerza en el álgebra de la misma manera que lo hicieron los números negativos. Llegaremos a entender más claramente cómo entraron en uso los números imaginarios si consideramos el desarrollo de sus progenitores, los números negativos.

 Los números negativos aparecieron como raíces de ecuaciones tan pronto hubo ecuaciones o, mejor dicho, tan pronto como los matemáticos se ocuparon del álgebra. Toda ecuación de la forma: ax + b = 0, en la que a y b son mayores que cero, tiene una raíz negativa.

 Los griegos, para quienes la geometría era un regocijo y el álgebra un mal necesario, descartaron los números negativos. Incapaces de adaptarlos a su geometría, imposibilitados para representarlos gráficamente, los griegos no consideraron, en modo alguno, a los números negativos. Pero el álgebra los necesitaba para desarrollarse. Más sabios que los griegos, más eruditos que Omar Khayyám, los chinos y los hindúes reconocieron los números negativos antes de la era cristiana, no como aprendidos en la geometría, pues no tenían escrúpulos de conciencia con respecto a los números que no podían dibujar en un gráfico. Hay una repetición de esa indiferencia en desear representaciones concretas para ideas abstractas en las teorías contemporáneas de la física matemática (relatividad, mecánica de los cuantos, etc.), las que, si bien son comprensibles como símbolos en el papel, desafían diagramas, cuadros o metáforas adecuadas para explicarlas en términos de la experiencia común.

 Cardano, eminente matemático del siglo XVI, jugador y bribón de vez en cuando y a quien el álgebra le debe muchísimo, fue el primero que reconoció la verdadera importancia de las raíces negativas. Pero su conciencia científica lo reprendió hasta tal punto que las llamó "ficticias". Rafael Bombelli, de Bolonia, prosiguió la obra de Cardano donde éste la había dejado. Este último había hablado de las raíces cuadradas de números negativos, pero no llegó a comprender el concepto de imaginarios. En una obra publicada en 1572, Bombelli señaló que las cantidades imaginarias eran indispensables para la solución de muchas ecuaciones algebraicas de la forma x²  + a = 0, donde a es cualquier número mayor que cero y que no puede ser resuelta sino con el auxilio de imaginarios. Tratando de resolver una ecuación sencilla como x² + 1 = 0 hay dos alternativas. O la ecuación no tiene sentido, lo cual es absurdo, o x es la raíz cuadrada de -1, que también es absurdo. Pero las matemáticas tienen buen éxito con los absurdos y Bombelli salió del paso aceptando la segunda alternativa.»

  [El texto pertenece a la edición en español de Ediciones Orbis, 1987, en traducción de José Celdeiro Ricoy, pp. 99-102. ISBN: 84-85471-55-5.]

Ensayo para contribuir a una gramática del asentimiento.- John Henry Newman (1801-1890)

 

Parte segunda: El asentimiento y la inferencia

VII.-La certeza

1.-El asentimiento contrastado con la certeza

«3.-Hemos de tomar la constitución de la mente humana tal como la encontramos y no tal como podríamos creer que tendría que ser. Esto me lleva a otra observación que a primera vista parece contraria a la certeza. La introspección de nuestras propias operaciones intelectuales no es el mejor medio de preservarnos de tener dudas. Entrometerse en los resortes del pensamiento y de la acción, en realidad, no hace más que debilitarlos; y en lo que se refiere a la argumentación que constituye el preliminar de la certeza, puede ser que sea inevitable, pero, como en el caso de otros útiles aliados, no es tan fácil librarse de él una vez que ha cumplido su misión, como lo fue al principio obtener su ayuda. Inquirir, si se fomenta en cualquier materia, fácilmente se convierte en un hábito que lleva a la mente a tomar los ejercicios de inferencia por asentimientos ya simples, ya complejos. Las razones para asentir sugieren razones para no asentir, y lo que era una realidad en nuestra imaginación mientras tuvimos un asentimiento simple, puede convertirse en poco más que una pura noción cuando lleguemos a la certeza. Las objeciones y las dificultades ejercen su acción sobre la mente, la cual puede llegar a perder su elasticidad y hacerse impotente para echarlas de sí. Así, aun en lo que se refiere a cosas de las que sería absurdo dudar, como consecuencia de una cierta sugestión pasada sobre la posibilidad de error o de alguna desventajosa asociación casual, podemos de cuando en cuando sentirnos como molestos y cohibidos por dudas involuntarias, como si no estuviéramos ciertos cuando en realidad lo estamos. Hasta hay personas que continuamente están visitadas por esta especie de muscae volitantes* de su visión intelectual, las cuales revoloteando siempre de aquí para allá oscurecen la claridad y la perfección de la misma. Tales personas no son responsables de estos huéspedes y saben que se trata de algo irreal; pero sin embargo éstos pueden impedir su bienestar y minar sus energías hasta tal punto que pueden sentirse tentados a quejarse de que el prejuicio ciego procura más reposo y es más permanente que la misma certeza.

 Como incluso los santos pueden sufrir imaginaciones de las que no son responsables, así los jirones y harapos de controversias pasadas y la suciedad de un hábito argumentativo pueden cercar y obstruir el entendimiento; tal sucede con cuestiones ya resueltas de las que no poseemos las soluciones, con cadenas de razonamiento en las que faltan eslabones, con dificultades que tienen sus raíces en la misma naturaleza de las cosas, que se dejan intactas en una investigación filosófica porque no pueden resolverse, y que requieren buen sentido y fuerza de voluntad para dejarlas de lado con mano firme como irracionales o impertinentes. Tales son: "¿cuál es el origen del mal?", "¿por qué nos han creado sin nuestro consentimiento?", ¿cómo puede no tener comienzo el Ser Supremo?", "¿cómo puede necesitar sabiduría si es Omnipotente?", "si es Omnipotente, ¿por qué permite el sufrimiento?", "si permite el sufrimiento, ¿cómo puede decirse que nos ama?", "si nos ama, ¿cómo puede ser justo?", "si es infinito, ¿cómo se relaciona con lo finito?", "¿cómo puede lo temporal tener influencia en lo eterno?". Éstas y una infinidad de cuestiones semejantes han de surgir en todo espíritu que piensa y, después de ejercitar lo mejor que sepamos nuestra razón sobre ellas, las hemos de dejar de lado deliberadamente, pues están más allá de lo que puede nuestra razón. Son, por así decirlo, como callejones sin salida, los cuales, por no llevar a ninguna parte, no han de tener poder legítimo para desviarnos del camino real y para impedir que el curso de la investigación religiosa llegue a su destino. Sin embargo, de cuando en cuando constituirán una obstrucción seria para ciertas mentes y debilitarán la fe que no pueden destruir. Es algo semejante a lo que ocurre con las asociaciones desagradables con las que miramos a una persona que hemos conocido, sea amigo o no, las cuales han resultado de cierta palabra, mirada o acción causal de la que hemos sido testigos y que perjudica a la tal persona en nuestra imaginación, aunque nos reprendamos a nosotros mismos por tal cosa.

 También, cuando confiados en nuestra propia certeza y deseando toda imparcialidad filosófica, hemos intentado con éxito salir de nuestros acostumbrados hábitos de creencia para ponernos en una actitud mental simplemente desinteresada, entonces lo que eran o nos parecían vagas improbabilidades (algo extraño o maravilloso en ciertas verdades, el hecho de que las cosas sucedan así y no de otra forma cuando han de suceder de alguna manera), nos puede perturbar como sugiriéndonos: "¿Es posible? ¡Quién lo hubiera pensado! ¡Qué coincidencia!". Lo cual no quiere decir que realmente lleguen a afectar el asentimiento profundo de todo nuestro ser intelectual al objeto atacado de esta manera irracional. Así, podemos no acabar de comprender la misericordia divina en la Encarnación, hasta que un día nos sorprende y nos preguntamos por qué la tierra tiene una historia teológica tan peculiar, o por qué nosotros somos cristianos, mientras que otros no lo son, o cómo Dios puede gobernar realmente el mundo sin castigar a tan grandes pecadores como somos nosotros; con lo cual parece que dudamos de su poder o de su justicia, cuando en realidad no dudamos de nada.

 La razón de esta rebelión intelectual puede ser algo más insignificante todavía. Al contemplar el monte Palatino, o el Partenón, o las Pirámides sobre las que he leído tanto desde mi infancia, o si me enfrento realísticamente con los lugares sagrados de Tierra Santa, tengo que forzar mi imaginación para que se deje llevar por la vista y la razón. Se me hace demasiado raro que lo que era una creencia de toda la vida se convierta en un objeto de la vista y lo que hasta ahora era imaginación, sea algo que puedo tocar. Es lo que sucede cuando sentimos primero una suspensión mental, luego alegría: "Cuando Dios hizo volver a los cautivos de Sión" (según el texto hebreo) "como soñando nos quedamos". Y con todo, era un sueño del que estaban ciertos que era verdad, aunque parecían dudar. Lo mismo les sucedía a los apóstoles después de la resurrección del Señor.

 Tales vagos pensamientos que nos persiguen y desaparecen no son en manera alguna semejantes a aquella lucha entre la fe y la incredulidad que hizo exclamar a aquel pobre padre: "Señor, creo; ayuda a mi poca fe". Más aún, lo que en ciertos espíritus puede parecer como una corriente subterránea de escepticismo, o una fe fundada sobre el peligroso substrato de la duda, puede ser que no sea más que una tentación, aunque robe a la certeza su tranquilidad normal. En tal caso la fe puede expresar todavía la convicción firme del entendimiento; puede ser todavía la seguridad grave, profunda, reposada, de la experiencia madura, aunque no sea el asentimiento fácil del joven o del espíritu generoso o irreflexivo.»

 

*"Moscas revoloteadoras"

 

     [El texto pertenece a la edición en español de Ediciones Encuentro, 2010, en traducción de Josep Vives. ISBN: 978-84-9920-051-4.]