Matemáticas e imaginación.- Edward Kasner (1878-1955) y James Newman (1907-1966)

Pie (𝝿, 𝒊, 𝒆). Trascendente e imaginario

 «Un universo donde faltaran 𝝿 y 𝒆, como lo ha dicho algún espíritu antropomórfico, no sería inconcebible. Difícilmente uno podría imaginarse que el sol dejara de salir o que las mareas cesaran de producirse por falta de 𝝿 y 𝒆. Pero sin estos artificios matemáticos, lo que sabemos del sol y las mareas, a pesar de nuestra habilidad para describir todos los fenómenos naturales, físicos, biológicos, químicos o estadísticos, estaría reducida a dimensiones primitivas.

𝒊

 Alicia estaba censurando a Humpty Dumpty por las prerrogativas que tomaba con respecto a las palabras: "Cuando yo uso una palabra", replicó Humpty con un tono despreciativo, "ella significa precisamente aquello que yo quise decir, ni más ni menos". "La cuestión es", dijo Alicia, "si usted puede hacer que una palabra signifique tantas cosas diferentes". "La cuestión es", dijo Humpty, "conocer a fondo el asunto, eso es todo".

 Aquellos que están preocupados (y son muchos) , por la palabra "imaginario", tal como se la usa en matemáticas, deberían prestar atención a las palabras de Humpty Dumpty. Por supuesto que, a lo sumo, esto es cosa de poca importancia. Repetidas veces en las matemáticas, a palabras muy diferentes se les atribuyen significados técnicos. Pero, como lo ha dicho tan perspicazmente Whitehead, esto sólo es confuso para inteligencias inferiores. Cuando una palabra está definida con precisión y significa solamente una cosa, no hay más razón para criticar su uso que para criticar el uso de un nombre propio. Nuestros nombres de pila pueden no agradarnos, o no podrán satisfacer a nuestros amigos, pero ocasionan pocas equivocaciones. La confusión surge únicamente cuando la misma palabra tiene varias acepciones y constituye lo que Humpty Dumpty llama una "maleta de viaje".

 La semántica, una ciencia que hoy día está de moda, se dedica al estudio del uso adecuado de las palabras. Sin embargo, hay mucha mayor necesidad de la semántica en otras ramas de la ciencia que en las matemáticas. En efecto, la mayor parte de los males que aquejan hoy al mundo, provienen del hecho de que algunas de sus más volubles alabanzas son, por cierto, antisemánticas.

 Un número imaginario representa una idea matemática precisa. Se impuso por la fuerza en el álgebra de la misma manera que lo hicieron los números negativos. Llegaremos a entender más claramente cómo entraron en uso los números imaginarios si consideramos el desarrollo de sus progenitores, los números negativos.

 Los números negativos aparecieron como raíces de ecuaciones tan pronto hubo ecuaciones o, mejor dicho, tan pronto como los matemáticos se ocuparon del álgebra. Toda ecuación de la forma: ax + b = 0, en la que a y b son mayores que cero, tiene una raíz negativa.

 Los griegos, para quienes la geometría era un regocijo y el álgebra un mal necesario, descartaron los números negativos. Incapaces de adaptarlos a su geometría, imposibilitados para representarlos gráficamente, los griegos no consideraron, en modo alguno, a los números negativos. Pero el álgebra los necesitaba para desarrollarse. Más sabios que los griegos, más eruditos que Omar Khayyám, los chinos y los hindúes reconocieron los números negativos antes de la era cristiana, no como aprendidos en la geometría, pues no tenían escrúpulos de conciencia con respecto a los números que no podían dibujar en un gráfico. Hay una repetición de esa indiferencia en desear representaciones concretas para ideas abstractas en las teorías contemporáneas de la física matemática (relatividad, mecánica de los cuantos, etc.), las que, si bien son comprensibles como símbolos en el papel, desafían diagramas, cuadros o metáforas adecuadas para explicarlas en términos de la experiencia común.

 Cardano, eminente matemático del siglo XVI, jugador y bribón de vez en cuando y a quien el álgebra le debe muchísimo, fue el primero que reconoció la verdadera importancia de las raíces negativas. Pero su conciencia científica lo reprendió hasta tal punto que las llamó "ficticias". Rafael Bombelli, de Bolonia, prosiguió la obra de Cardano donde éste la había dejado. Este último había hablado de las raíces cuadradas de números negativos, pero no llegó a comprender el concepto de imaginarios. En una obra publicada en 1572, Bombelli señaló que las cantidades imaginarias eran indispensables para la solución de muchas ecuaciones algebraicas de la forma x²  + a = 0, donde a es cualquier número mayor que cero y que no puede ser resuelta sino con el auxilio de imaginarios. Tratando de resolver una ecuación sencilla como x² + 1 = 0 hay dos alternativas. O la ecuación no tiene sentido, lo cual es absurdo, o x es la raíz cuadrada de -1, que también es absurdo. Pero las matemáticas tienen buen éxito con los absurdos y Bombelli salió del paso aceptando la segunda alternativa.»

  [El texto pertenece a la edición en español de Ediciones Orbis, 1987, en traducción de José Celdeiro Ricoy, pp. 99-102. ISBN: 84-85471-55-5.]