Matemáticas e imaginación.- Edward Kasner (1878-1955) y James Newman (1907-1966)

Pie (𝝿, 𝒊, 𝒆). Trascendente e imaginario

 «Un universo donde faltaran 𝝿 y 𝒆, como lo ha dicho algún espíritu antropomórfico, no sería inconcebible. Difícilmente uno podría imaginarse que el sol dejara de salir o que las mareas cesaran de producirse por falta de 𝝿 y 𝒆. Pero sin estos artificios matemáticos, lo que sabemos del sol y las mareas, a pesar de nuestra habilidad para describir todos los fenómenos naturales, físicos, biológicos, químicos o estadísticos, estaría reducida a dimensiones primitivas.

𝒊

 Alicia estaba censurando a Humpty Dumpty por las prerrogativas que tomaba con respecto a las palabras: "Cuando yo uso una palabra", replicó Humpty con un tono despreciativo, "ella significa precisamente aquello que yo quise decir, ni más ni menos". "La cuestión es", dijo Alicia, "si usted puede hacer que una palabra signifique tantas cosas diferentes". "La cuestión es", dijo Humpty, "conocer a fondo el asunto, eso es todo".

 Aquellos que están preocupados (y son muchos) , por la palabra "imaginario", tal como se la usa en matemáticas, deberían prestar atención a las palabras de Humpty Dumpty. Por supuesto que, a lo sumo, esto es cosa de poca importancia. Repetidas veces en las matemáticas, a palabras muy diferentes se les atribuyen significados técnicos. Pero, como lo ha dicho tan perspicazmente Whitehead, esto sólo es confuso para inteligencias inferiores. Cuando una palabra está definida con precisión y significa solamente una cosa, no hay más razón para criticar su uso que para criticar el uso de un nombre propio. Nuestros nombres de pila pueden no agradarnos, o no podrán satisfacer a nuestros amigos, pero ocasionan pocas equivocaciones. La confusión surge únicamente cuando la misma palabra tiene varias acepciones y constituye lo que Humpty Dumpty llama una "maleta de viaje".

 La semántica, una ciencia que hoy día está de moda, se dedica al estudio del uso adecuado de las palabras. Sin embargo, hay mucha mayor necesidad de la semántica en otras ramas de la ciencia que en las matemáticas. En efecto, la mayor parte de los males que aquejan hoy al mundo, provienen del hecho de que algunas de sus más volubles alabanzas son, por cierto, antisemánticas.

 Un número imaginario representa una idea matemática precisa. Se impuso por la fuerza en el álgebra de la misma manera que lo hicieron los números negativos. Llegaremos a entender más claramente cómo entraron en uso los números imaginarios si consideramos el desarrollo de sus progenitores, los números negativos.

 Los números negativos aparecieron como raíces de ecuaciones tan pronto hubo ecuaciones o, mejor dicho, tan pronto como los matemáticos se ocuparon del álgebra. Toda ecuación de la forma: ax + b = 0, en la que a y b son mayores que cero, tiene una raíz negativa.

 Los griegos, para quienes la geometría era un regocijo y el álgebra un mal necesario, descartaron los números negativos. Incapaces de adaptarlos a su geometría, imposibilitados para representarlos gráficamente, los griegos no consideraron, en modo alguno, a los números negativos. Pero el álgebra los necesitaba para desarrollarse. Más sabios que los griegos, más eruditos que Omar Khayyám, los chinos y los hindúes reconocieron los números negativos antes de la era cristiana, no como aprendidos en la geometría, pues no tenían escrúpulos de conciencia con respecto a los números que no podían dibujar en un gráfico. Hay una repetición de esa indiferencia en desear representaciones concretas para ideas abstractas en las teorías contemporáneas de la física matemática (relatividad, mecánica de los cuantos, etc.), las que, si bien son comprensibles como símbolos en el papel, desafían diagramas, cuadros o metáforas adecuadas para explicarlas en términos de la experiencia común.

 Cardano, eminente matemático del siglo XVI, jugador y bribón de vez en cuando y a quien el álgebra le debe muchísimo, fue el primero que reconoció la verdadera importancia de las raíces negativas. Pero su conciencia científica lo reprendió hasta tal punto que las llamó "ficticias". Rafael Bombelli, de Bolonia, prosiguió la obra de Cardano donde éste la había dejado. Este último había hablado de las raíces cuadradas de números negativos, pero no llegó a comprender el concepto de imaginarios. En una obra publicada en 1572, Bombelli señaló que las cantidades imaginarias eran indispensables para la solución de muchas ecuaciones algebraicas de la forma x²  + a = 0, donde a es cualquier número mayor que cero y que no puede ser resuelta sino con el auxilio de imaginarios. Tratando de resolver una ecuación sencilla como x² + 1 = 0 hay dos alternativas. O la ecuación no tiene sentido, lo cual es absurdo, o x es la raíz cuadrada de -1, que también es absurdo. Pero las matemáticas tienen buen éxito con los absurdos y Bombelli salió del paso aceptando la segunda alternativa.»

  [El texto pertenece a la edición en español de Ediciones Orbis, 1987, en traducción de José Celdeiro Ricoy, pp. 99-102. ISBN: 84-85471-55-5.]

"Las plantas: amores y civilizaciones vegetales".- Jean-Marie Pelt (1933-2015)

 

 III.-Los musgos: prehistoria de las plantas terrestres

  «Los musgos, por su talla insignificante y por el discreto lugar que ocupan en la vegetación, no estimulan ni la curiosidad de los coleccionistas ni la atención de los aficionados a las plantas.

 Un tallito de musgo es una planta en miniatura. Para observarlo, antes es preciso aislarlo de entre las densas formaciones que constituye con sus semejantes, a manera de alfombras o almohadillas. La naturaleza compensa la endeblez del individuo realizando grandes concentraciones de tipo colonial, del mismo modo que hace con los corales de los mares cálidos. Así, la multiplicidad de seres pequeños y su asociación en batallones ordenados y disciplinados remeda el empuje de las plantas más grandes, según el adagio que dice: "la unión hace la fuerza".

 Los musgos nunca forman árboles, ni matorrales, y jamás poseen tallos leñosos. Por no haber sabido inventar la madera, que confiere su fuerza a las plantas superiores, los musgos han quedado reducidos a la categoría plantas inferiores. Inferiores por su talla, por su grado de organización, inferiores, en fin, por su posición en la vegetación, bajo las hierbas de los prados o debajo de los árboles en los bosques.

 Los indios del reino vegetal

 A juzgar por los fósiles, los musgos tienen un origen antiquísimo. Representan, sin duda, una de las primeras tentativas de las algas verdes para liberarse del medio marino y conquistar la tierra firme. Tentativa meritoria, pero limitada. Después de una hazaña remarcable -su adaptación a la vida terrestre- permanecen inmovilizados en su organización inicial, transcurridos millones y millones de años, incapaces de evolucionar y de realizar un conjunto de procesos mediante los cuales otras plantas se adaptan a la vida aérea. O sea, los musgos no han sabido superarse. En la actualidad, dominados ampliamente por los helechos, las coníferas y las plantas con flores, constituyen , no obstante, la primera civilización vegetal que partió a la conquista de la tierra. Los musgos son a las rosas o a las orquídeas lo que el indio del Amazonas o el piel roja de Arizona son a los americanos de Washington o de Chicago. Como el musgo, la rosa y la orquídea descienden de las algas, pero han surgido mucho más tarde y han recorrido un camino evolutivo mucho más largo, por lo que, en consecuencia, han llegado mucho más lejos. Los musgos se han quedado arcaicos, los demás son modernos.

 Los musgos guardan en su memoria muchos recuerdos de su lejano parentesco con las algas y de su ascendencia acuática. Salta a la vista que no han podido liberarse de ese pasado marino, que los marca tan profundamente. Inmóviles y estáticos, son el testimonio de aquellos tiempos antiguos en que las primitivas plantas terrestres no habían inventado todavía ni las raíces, ni la madera, ni la flor, ni el fruto ni la semilla.

 La madera confiere su esplendor al árbol. Forma el esqueleto de las plantas terrestres, siendo elemento indispensable para su porte. Carentes de madera, los musgos están condenados a su irrisorio tamaño, como el insecto sin tejido óseo. La lignina, componente químico de la madera, no sólo es un elemento necesario para la construcción de un esqueleto rígido, sino que también tapiza la pared de los grandes vasos por los que el agua circula desde las raíces a los tallos, ramas y hojas. Participa en la formación de un poderoso aparato circulatorio que distribuye, desde el suelo hasta las hojas más alejadas, el agua necesaria para la vida y, sobre todo, para la función clorofílica.

 Nada de eso existe en los musgos. A falta de verdaderas raíces y de verdaderos vasos, la savia circula penosamente de una célula a otra, como en las algas. Pero las algas viven por completo sumergidas o flotantes, lo cual hace que no necesiten ningún aparato de sostén y les elimina cualquier problema circulatorio. El agua penetra en los tejidos directamente por los poros, de manera que las algas no necesitan ni raíces absorbentes ni vasos conductores.

 Por no haber mejorado a las algas, en cuanto a la circulación interna del agua, y por haber tenido, sin embargo, la audacia de emanciparse del medio marino para acometer la proeza de vivir en tierra firme, los musgos han sido castigados. Condenados a permanecer minúsculos por no ser capaces de alimentarse correctamente de agua.

 ¿Qué han inventado, pues, los musgos que sea original? La observación de un tallito aislado de musgo muestra una disposición totalmente clásica: un tallito central portador de numerosas hojitas verdes. Ahora bien, este dispositivo es raro en las algas, que adquieren las formas más diversas, pero sin diferenciar tan claramente los órganos. Los musgos se dedican, y con éxito, a dividir mejor el trabajo entre un órgano portador y conductor de agua, el tallito, y las numerosas hojitas, que actúan como pequeñas baterías solares. Cada hojita absorbe le energía solar, gracias a la clorofila verde, que transforma el dióxido de carbono tomado del aire y el agua procedente del suelo en azúcares y almidón, según el proceso clásico de la fotosíntesis.

 Las hojas aparecen por primera vez con los musgos. Aunque imperfectas, pues son de minúsculo tamaño y no poseen ningún vaso conductor especializado, es decir, ningún nervio claramente perceptible.»